Bài 1. Cho \(\{X_n;n\geq 1\}\) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối xác suất với hàm mật độ xác suất chung \[\begin{equation*} f(x)=\begin{cases} e^{-(x-a)}&\mbox{ nếu }x>a,\\ 0&\mbox{ nếu }x\leq a. \end{cases} \end{equation*}\] Đặt \(Y_n=\min\{X_1,..., X_n\}\). Chứng minh \[\begin{equation*} Y_n\xrightarrow{P}a\mbox{ khi }n\to\infty. \end{equation*}\]

Hướng dẫn. Với \(\epsilon>0\) bé tùy ý, \[\begin{align*} P(|Y_n-a|>\epsilon)&=P(Y_n<a-\epsilon)+P(Y_n>a+\epsilon)\\ &=1-P(Y_n\leq a+\epsilon)=1-P(\min\{X_1,..., X_n\}\leq a+\epsilon)\\ &=1-P(X_1\leq a+\epsilon,...,X_n\leq a+\epsilon)\\ &=1-P(X_1\leq a+\epsilon)....P(X_n\leq a+\epsilon)\\ &=1-[P(X\leq a+\epsilon)]^n \end{align*}\]

Bài 2. Cho dãy biến ngẫu nhiên rời rạc \(\{X_n;n\geq 1\}\) với \[\begin{equation*} P(X_n=0)=1-\frac{1}{n^2},\quad P(X=n)=\frac{1}{n^2}. \end{equation*}\] Chứng minh \(X_n\xrightarrow{h.c.c.}0\) khi \(n\to\infty\).

Hướng dẫn. Để chứng minh \(X_n\xrightarrow{h.c.c.}0\) ta cần chứng minh: \(\epsilon>0\) bé tùy ý, \[\begin{equation*} P(\sup_{n\geq k}|X_k|>\epsilon)\to0. \end{equation*}\] Do \[\begin{equation*} P(\sup_{n\geq k}|X_k|>\epsilon)=P\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}\{|X_k|>\epsilon\}\right) \leq\sum_{k=n}^{\infty}P(|X_k|>\epsilon) \end{equation*}\] Nên để chứng minh \(P(\sup_{n\geq k}|X_k|>\epsilon)\to0\) ta sẽ chứng minh \[\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty}P(|X_k|>\epsilon)<\infty. \end{equation*}\]

Bài 3. Cho dãy biến ngẫu nhiên liên tục \(\{X_n;n\geq1\}\) với hàm mật độ xác suất của \(X_n\) là \[\begin{equation*} f(x)= \begin{cases} \frac{1}{nx^2}&\mbox{ nếu }x>\frac{1}{n},\\ 0&\mbox{ nếu trái lại.} \end{cases} \end{equation*}\] Chứng minh \(X_n\xrightarrow{P}0\) khi \(n\to\infty\).

Hướng dẫn. Ta cần chứng minh: \(\epsilon>0\) bé tùy ý, \[\begin{equation*} P(|X_n|>\epsilon)\to0. \end{equation*}\] Với \(n\) đủ lớn ta sẽ có \(\frac{1}{n}<\epsilon\) nên \[\begin{align*} P(|X_n|>\epsilon)=P(X_n>\epsilon)=\int_{\epsilon}^{\infty}f(x)dx =\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{1}{nx^2}dx. \end{align*}\]

Bài 4. Cho dãy biến ngẫu nhiên liên tục \(\{X_n;n\geq 2\}\) với hàm mật độ xác suất của \(X_n\): \[\begin{equation*} f_{X_n}(x) = \frac{n}{2} e^{-n|x|}. \end{equation*}\] Chứng minh \(X_n\xrightarrow{P}0\) khi \(n\to\infty\).

Hướng dẫn. \[\begin{align*} P(|X_n|>\epsilon)=2\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{n}{2} e^{-nx}dx \end{align*}\]

Bài 5. Cho \(X\sim N(0;1)\), biến ngẫu nhiên \(X_n\) được xác định bởi \[\begin{equation*} P(X_n=1)=1-\dfrac{1}{n},\quad P(X_n=n)=\dfrac{1}{n},n\geq 1. \end{equation*}\] Giả sử \(\{X,X_n;n\geq 1\}\) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Đặt \(Y_n=X.X_n\). Chứng minh \[\begin{equation*} Y_n\xrightarrow{d}N(0;1)\mbox{ khi }n\to\infty. \end{equation*}\]

Hướng dẫn. \[\begin{align*} F_{Y_n}(Y_n<x)&=P(XX_n<x)=P(X_n=1)P(XX_n<x|X_n=1)\\ &\quad+P(X_n=n)P(XX_n<x|X_n=n)\\ &=(1-\frac{1}{n})P(X<x)+\frac{1}{n}P(X<x/n)\to P(X<x) \end{align*}\]

Bài 6. Cho \(\{X_n;n\geq 1\}\) là dãy biến ngẫu nhiên xác định như sau: \[\begin{equation*} P(X_n=-\frac{1}{n})= P(X_n=\frac{1}{n})=\frac{1}{2}. \end{equation*}\] Chứng minh \(X_n\xrightarrow{h.c.c.}0\) khi \(n\to\infty\).

Hướng dẫn. Chứng minh với mọi \(\epsilon>0\), \[\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty}P(|X_k|>\epsilon)<\infty. \end{equation*}\]

Bài 7. Cho \(\{X_n;n\geq 1\}\) là dãy biến ngẫu nhiên dương, độc lập, có cùng phân phối xác suất và \(0<E(\ln(X_i))=\gamma<\infty\). Đặt \[\begin{equation*} Y_n=\left(X_1X_2...X_n\right)^{\frac{1}{n}}. \end{equation*}\] Chứng minh \(Y_n\xrightarrow{P}e^{\gamma}\) khi \(n\to\infty\).

Hướng dẫn. Trước hết chứng minh \(Y_n\xrightarrow{P}e^{\gamma}\) khi và chỉ khi \(\ln(Y_n)\xrightarrow{P}\gamma\).

Lấy logarit tự nhiên 2 vế \(Y_n\) để đưa về tổng các biến ngẫu nhiên.

Bài 8. Cho \(\{X_n;n\geq 2\}\) là dãy biến ngẫu nhiên với hàm phân phối xác suất của \(X_n\): \[\begin{equation*} \nonumber F_{X_n}(x) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac{e^{nx}+xe^n}{e^{nx}+ \left(\frac{n+1}{n}\right) e^n} & \quad 0 \leq x \leq 1, \\ \frac{e^{nx}+e^n}{e^{nx}+ \left(\frac{n+1}{n}\right) e^n} & \quad x > 1. \end{array} \right. \end{equation*}\] Chứng minh \(X_n\xrightarrow{d}U([0;1])\) khi \(n\to\infty\).

Hướng dẫn. Với \(x<0\) ta có \(F_{X_n}(x)=0\).

Với \(x>1\), \[\begin{equation*} F_{X_n}(x)=\frac{e^{nx}+e^n}{e^{nx}+ \left(\frac{n+1}{n}\right) e^n} =\frac{1+e^{(1-x)n}}{1+ \left(\frac{n+1}{n}\right) e^{(1-x)n}}\to 1\mbox{ khi }n\to\infty. \end{equation*}\] Với \(0\leq x\leq 1\), \[\begin{equation*} F_{X_n}(x)=\frac{e^{nx}+xe^n}{e^{nx}+ \left(\frac{n+1}{n}\right) e^n} =\frac{e^{(x-1)n}+x}{e^{(x-1)n}+ \left(\frac{n+1}{n}\right)}\to {x}\mbox{ khi }n\to\infty. \end{equation*}\]

Bài 9. Cho \(\{X_n,\, n\geq 1\}\) là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, \(E(X)=\mu\) và \(V(X)=\sigma^2\). Với \(x \in \Bbb{R}\) tính giới hạn: \[ \lim\limits_{n \to \infty} P(X_1+X_2+...+X_n<x).\]

Hướng dẫn.

Bài 10. Tuổi thọ của một bóng đèn là biến ngẫu nhiên \(X\) có \(E(X)=250\) giờ và \(SD(X)=250\) giờ.

a) Một cửa hàng mua 30 bóng đèn để khi hỏng có thể thay thế ngay. Dùng định lí giới hạn trung tâm để tính: xác suất để cửa hàng duy trì được ánh sáng liên tục trong ít nhất 8750 giờ (\(\approx\) 1 năm).

b) Dùng định lí giới hạn trung tâm để tính: chủ cửa hàng phải mua bao nhiêu bóng đèn để duy trì ánh sáng liên tục ít nhất 8750 giờ với xác suất lớn hơn 0,9772.

Hướng dẫn. Gọi \(X_n\) là tuổi thọ bóng đèn thứ \(n\). \[\begin{equation*} T_n=X_1+...+X_n\approx N(250n;250^2n) \end{equation*}\] a) Tính \(P(T_{30}\geq 8750)\). b) Tìm \(n\) sao cho \(P(T_{n}\geq 8750)>0,9772\).

Bài 11. Tuổi thọ của một loại van điện lắp trong một thiết bị là biến ngẫu nhiên X (nghìn giờ) có phân bố mũ với kì vọng \(E(X)=10\) (nghìn giờ). Tính xấp xỉ xác suất để khi lắp 36 van điện vào thiết bị có ít nhất 20 van bị thay thế trước thời gian 5 ngàn giờ. Biết tuổi thọ của các van điện là độc lập nhau.

Hướng dẫn.

Bài 12. Một nhà nghỉ có 1000 người. Nhà ăn phục vụ ăn trưa trong hai đợt liên tiếp. Mỗi nguời chọn ăn trưa một trong hai đợt này với xác suất như nhau. Dùng định lý giới hạn trung tâm tính: nhà ăn cần tối thiểu bao nhiêu chỗ để đảm bảo đủ chỗ cho khách vào ăn trưa với xác suất lớn hơn hay bằng 0,99?

Hướng dẫn. Gọi \(k\) là số ghế cần chuẩn bị, \(X\) là số khách chọn ăn trưa đợt 1 \(X\sim B(n=1000;p=0,5)\sim N(\mu=500;\sigma^2=250)\). Cần tìm \(k\) sao cho \[\begin{equation*} P(X\leq k,1000-X\leq k)\geq 0,99 \end{equation*}\] tương đương với \[\begin{equation*} P(1000-k\leq X\leq k)\geq 0,99. \end{equation*}\]

Bài 13. Tuổi thọ (năm) của một thiết bị điện tử là một biến ngẫu nhiên \(X\) có hàm mật độ xác suất: \[f(x)=\begin{cases} 0,25e^{-0,25x}&\mbox{ nếu }x\geq 0,\\ 0 &\mbox{ nếu }x< 0.\\ \end{cases}\]

Bán được một thiết bị nếu không phải bảo hành thì lãi \(15.000\) đồng nhưng nếu phải bảo hành thì lỗ \(5.000\) đồng. Với thời gian quy định bảo hành 6 tháng, cửa hàng A nhập về \(10.000\) thiết bị để bán. Tính xác suất với \(10.000\) thiết bị được bán hết cửa hàng A lãi ít nhất \(125\) triệu đồng.

Hướng dẫn.

Bài 14. Thời gian (phút) phục vụ mỗi khách hàng tại một cửa hàng A là biến ngẫu nhiên \(X\) có phân phối mũ với trung bình là \(0,2\) phút. Quan sát ngẫu nhiên \(35\) khách hàng vào chờ mua hàng ở cửa hàng đó. Tính xấp xỉ xác suất để thời gian phục vụ trung bình của 35 khách hàng đó lớn hơn \(0,3\) phút.

Hướng dẫn.

Bài 15. Một hộp đựng \(50\) viên pin loại A và \(50\) viên pin loại B. Pin loại A có tuổi thọ trung bình \(\mu_1=500\) giờ và độ lệch chuẩn \(\sigma_1=15\) giờ, pin loại B có tuổi thọ trung bình \(\mu_2=400\) giờ và độ lệch chuẩn \(\sigma_2=6\) giờ. Tính gần đúng xác suất tổng tuổi thọ của 100 viên pin trên lớn hơn \(45.200\) giờ.

Hướng dẫn.

Bài 16. Trọng lượng các viên thuốc chữa bệnh B được sản xuất tại một xí nghiệp là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình là \(25\)mg và độ lệch chuẩn là \(9\)mg. Thuốc đóng thành vỉ, mỗi vỉ \(10\) viên. Một vỉ được gọi là đúng tiêu chuẩn nếu trọng lượng của nó nằm trong khoảng từ \(2470\)mg đến \(2530\)mg. Chọn ngẫu nhiên \(100\) vỉ thuốc loại đó để kiểm tra. Tính xấp xỉ xác suất để trong đó có ít nhất \(80\) vỉ đạt tiêu chuẩn.

Hướng dẫn.

Bài 17. Tuổi thọ của một loại bóng đèn là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với trung bình là \(1500\) (giờ). Bóng đèn loại đó được gọi là xếp loại A nếu tuổi thọ của nó lớn hơn \(1600\) (giờ). Các bóng đèn được xếp vào hộp, mỗi hộp \(3\) bóng. Mỗi hộp được gọi là đạt tiêu chuẩn nếu có ít nhất \(2\) bóng loại A. Lấy ngẫu nhiên \(40\) hộp đèn loại đó để kiểm tra. Tính xấp xỉ xác suất có nhiều nhất \(10\) hộp đèn đạt tiêu chuẩn.

Hướng dẫn. Gọi X là tuổi thọ bóng đèn. \(X\sim Exp(\lambda=1/1500)\).

Gọi \(Y\) là số bóng đạt tiêu chuẩn trong 1 hộp \(Y\sim B(3;q)\) với \(q=P(X>1600)\) Xác suất 1 hộp đạt tiêu chuẩn là \(p=P(Y\leq 2)\).\ Gọi \(Z\) là số hộp đạt tiêu chuẩn trong 40 hộp lấy ra. \(Z\sim B(40;p)\)

Bài 18. Tuổi thọ (năm) của một loại thiết bị là biến ngẫu nhiên có phân bố mũ với hàm phân phối xác suất \[\begin{equation*} F(x)=\begin{cases} 1-e^{-0,125x}&\mbox{ nếu }x\geq 0,\\ 0&\mbox{ nếu }x<0. \end{cases} \end{equation*}\] Phải chọn ngẫu nhiên bao nhiêu thiết bị để có ít nhất 100 thiết bị có tuổi thọ lớn hơn \(7\) (năm) với xác suất lớn hơn \(0,95\)?

Hướng dẫn. Gọi \(n\) là số thiết bị cần chọn, \(Y\) là số thiết bị có tuổi thọ >7 năm. \(Y\sim B(n;p)\approx N(\mu=np;\sigma^2=np(1-p))\) với \(p=P(X>7)\)

Bài 19. Một công ty bảo hiểm bán phí bảo hiểm xe máy \(125.000\) đồng/1 năm và trung bình nhận lại \(5\) triệu đồng nếu xe máy bị tai nạn giao thông. Qua thống kê cho biết tỉ lệ xe máy bị tai nạn giao thông trong \(1\) năm là \(0,015\). Các chi phí khác chiếm 20% phí bảo hiểm. Trong một năm công ty phải bán được tối thiểu bảo nhiêu bảo hiểm để xác suất lỗ thấp hơn \(0,001\).

Hướng dẫn.

Bài 20. Số khách hàng vào mua hàng ở \(1\) cửa hàng trong \(1\) ngày là biến ngẫu nhiên \(X\) có phân bố Poisson với số khách trung bình \(E(X)=50\). Giả sử hàm doanh thu \(Y\) (triệu đồng) được xác định bởi \(Y=3X\). Chọn ngẫu nhiên bao nhiêu ngày để doanh thu trung bình những ngày này lớn hơn \(145\) triệu đồng có xác suất lớn hơn \(0,95\). Biết doanh thu mỗi ngày độc lập với nhau.

Hướng dẫn.