tag:blogger.com,1999:blog-32559769627239546092024-02-20T15:19:23.772+07:00Lê Văn Dũnglvdunghthttp://www.blogger.com/profile/14748339024963974909noreply@blogger.comBlogger1125tag:blogger.com,1999:blog-3255976962723954609.post-71294521620179115472022-12-21T18:19:00.005+07:002022-12-21T18:28:07.302+07:00<p><strong>Bài 1</strong>. Cho <span class="math inline">\(\{X_n;n\geq
1\}\)</span> là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối xác suất
với hàm mật độ xác suất chung <span class="math display">\[\begin{equation*}
f(x)=\begin{cases}
e^{-(x-a)}&\mbox{ nếu }x>a,\\
0&\mbox{ nếu }x\leq a.
\end{cases}
\end{equation*}\]</span> Đặt <span class="math inline">\(Y_n=\min\{X_1,..., X_n\}\)</span>. Chứng minh
<span class="math display">\[\begin{equation*}
Y_n\xrightarrow{P}a\mbox{ khi }n\to\infty.
\end{equation*}\]</span></p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>. Với <span class="math inline">\(\epsilon>0\)</span> bé tùy ý, <span class="math display">\[\begin{align*}
P(|Y_n-a|>\epsilon)&=P(Y_n<a-\epsilon)+P(Y_n>a+\epsilon)\\
&=1-P(Y_n\leq a+\epsilon)=1-P(\min\{X_1,..., X_n\}\leq
a+\epsilon)\\
&=1-P(X_1\leq a+\epsilon,...,X_n\leq a+\epsilon)\\
&=1-P(X_1\leq a+\epsilon)....P(X_n\leq a+\epsilon)\\
&=1-[P(X\leq a+\epsilon)]^n
\end{align*}\]</span></p>
<p><strong>Bài 2</strong>. Cho dãy biến ngẫu nhiên rời rạc <span class="math inline">\(\{X_n;n\geq 1\}\)</span> với <span class="math display">\[\begin{equation*}
P(X_n=0)=1-\frac{1}{n^2},\quad P(X=n)=\frac{1}{n^2}.
\end{equation*}\]</span> Chứng minh <span class="math inline">\(X_n\xrightarrow{h.c.c.}0\)</span> khi <span class="math inline">\(n\to\infty\)</span>.</p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>. Để chứng minh <span class="math inline">\(X_n\xrightarrow{h.c.c.}0\)</span> ta cần chứng
minh: <span class="math inline">\(\epsilon>0\)</span> bé tùy ý, <span class="math display">\[\begin{equation*}
P(\sup_{n\geq k}|X_k|>\epsilon)\to0.
\end{equation*}\]</span> Do <span class="math display">\[\begin{equation*}
P(\sup_{n\geq
k}|X_k|>\epsilon)=P\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}\{|X_k|>\epsilon\}\right)
\leq\sum_{k=n}^{\infty}P(|X_k|>\epsilon)
\end{equation*}\]</span> Nên để chứng minh <span class="math inline">\(P(\sup_{n\geq k}|X_k|>\epsilon)\to0\)</span> ta
sẽ chứng minh <span class="math display">\[\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty}P(|X_k|>\epsilon)<\infty.
\end{equation*}\]</span></p>
<p><strong>Bài 3</strong>. Cho dãy biến ngẫu nhiên liên tục <span class="math inline">\(\{X_n;n\geq1\}\)</span> với hàm mật độ xác suất
của <span class="math inline">\(X_n\)</span> là <span class="math display">\[\begin{equation*}
f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{nx^2}&\mbox{ nếu }x>\frac{1}{n},\\
0&\mbox{ nếu trái lại.}
\end{cases}
\end{equation*}\]</span> Chứng minh <span class="math inline">\(X_n\xrightarrow{P}0\)</span> khi <span class="math inline">\(n\to\infty\)</span>.</p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>. Ta cần chứng minh: <span class="math inline">\(\epsilon>0\)</span> bé tùy ý, <span class="math display">\[\begin{equation*}
P(|X_n|>\epsilon)\to0.
\end{equation*}\]</span> Với <span class="math inline">\(n\)</span> đủ
lớn ta sẽ có <span class="math inline">\(\frac{1}{n}<\epsilon\)</span> nên <span class="math display">\[\begin{align*}
P(|X_n|>\epsilon)=P(X_n>\epsilon)=\int_{\epsilon}^{\infty}f(x)dx
=\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{1}{nx^2}dx.
\end{align*}\]</span></p>
<p><strong>Bài 4</strong>. Cho dãy biến ngẫu nhiên liên tục <span class="math inline">\(\{X_n;n\geq 2\}\)</span> với hàm mật độ xác suất
của <span class="math inline">\(X_n\)</span>: <span class="math display">\[\begin{equation*}
f_{X_n}(x) = \frac{n}{2} e^{-n|x|}.
\end{equation*}\]</span> Chứng minh <span class="math inline">\(X_n\xrightarrow{P}0\)</span> khi <span class="math inline">\(n\to\infty\)</span>.</p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>. <span class="math display">\[\begin{align*}
P(|X_n|>\epsilon)=2\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{n}{2} e^{-nx}dx
\end{align*}\]</span></p>
<p><strong>Bài 5</strong>. Cho <span class="math inline">\(X\sim
N(0;1)\)</span>, biến ngẫu nhiên <span class="math inline">\(X_n\)</span> được xác định bởi <span class="math display">\[\begin{equation*}
P(X_n=1)=1-\dfrac{1}{n},\quad P(X_n=n)=\dfrac{1}{n},n\geq 1.
\end{equation*}\]</span> Giả sử <span class="math inline">\(\{X,X_n;n\geq 1\}\)</span> là dãy biến ngẫu nhiên
độc lập. Đặt <span class="math inline">\(Y_n=X.X_n\)</span>. Chứng minh
<span class="math display">\[\begin{equation*}
Y_n\xrightarrow{d}N(0;1)\mbox{ khi }n\to\infty.
\end{equation*}\]</span></p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>. <span class="math display">\[\begin{align*}
F_{Y_n}(Y_n<x)&=P(XX_n<x)=P(X_n=1)P(XX_n<x|X_n=1)\\
&\quad+P(X_n=n)P(XX_n<x|X_n=n)\\
&=(1-\frac{1}{n})P(X<x)+\frac{1}{n}P(X<x/n)\to P(X<x)
\end{align*}\]</span></p>
<p><strong>Bài 6</strong>. Cho <span class="math inline">\(\{X_n;n\geq
1\}\)</span> là dãy biến ngẫu nhiên xác định như sau: <span class="math display">\[\begin{equation*}
P(X_n=-\frac{1}{n})= P(X_n=\frac{1}{n})=\frac{1}{2}.
\end{equation*}\]</span> Chứng minh <span class="math inline">\(X_n\xrightarrow{h.c.c.}0\)</span> khi <span class="math inline">\(n\to\infty\)</span>.</p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>. Chứng minh với mọi <span class="math inline">\(\epsilon>0\)</span>, <span class="math display">\[\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty}P(|X_k|>\epsilon)<\infty.
\end{equation*}\]</span></p>
<p><strong>Bài 7</strong>. Cho <span class="math inline">\(\{X_n;n\geq
1\}\)</span> là dãy biến ngẫu nhiên dương, độc lập, có cùng phân phối
xác suất và <span class="math inline">\(0<E(\ln(X_i))=\gamma<\infty\)</span>. Đặt
<span class="math display">\[\begin{equation*}
Y_n=\left(X_1X_2...X_n\right)^{\frac{1}{n}}.
\end{equation*}\]</span> Chứng minh <span class="math inline">\(Y_n\xrightarrow{P}e^{\gamma}\)</span> khi <span class="math inline">\(n\to\infty\)</span>.</p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>. Trước hết chứng minh <span class="math inline">\(Y_n\xrightarrow{P}e^{\gamma}\)</span> khi và chỉ
khi <span class="math inline">\(\ln(Y_n)\xrightarrow{P}\gamma\)</span>.</p>
<p>Lấy logarit tự nhiên 2 vế <span class="math inline">\(Y_n\)</span> để
đưa về tổng các biến ngẫu nhiên.</p>
<p><strong>Bài 8</strong>. Cho <span class="math inline">\(\{X_n;n\geq
2\}\)</span> là dãy biến ngẫu nhiên với hàm phân phối xác suất của <span class="math inline">\(X_n\)</span>: <span class="math display">\[\begin{equation*}
\nonumber F_{X_n}(x) = \left\{
\begin{array}{l l}
\frac{e^{nx}+xe^n}{e^{nx}+ \left(\frac{n+1}{n}\right)
e^n} & \quad 0 \leq x \leq 1, \\
\frac{e^{nx}+e^n}{e^{nx}+ \left(\frac{n+1}{n}\right) e^n}
& \quad x > 1.
\end{array} \right.
\end{equation*}\]</span> Chứng minh <span class="math inline">\(X_n\xrightarrow{d}U([0;1])\)</span> khi <span class="math inline">\(n\to\infty\)</span>.</p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>. Với <span class="math inline">\(x<0\)</span> ta có <span class="math inline">\(F_{X_n}(x)=0\)</span>.</p>
<p>Với <span class="math inline">\(x>1\)</span>, <span class="math display">\[\begin{equation*}
F_{X_n}(x)=\frac{e^{nx}+e^n}{e^{nx}+ \left(\frac{n+1}{n}\right) e^n}
=\frac{1+e^{(1-x)n}}{1+ \left(\frac{n+1}{n}\right) e^{(1-x)n}}\to
1\mbox{ khi }n\to\infty.
\end{equation*}\]</span> Với <span class="math inline">\(0\leq x\leq
1\)</span>, <span class="math display">\[\begin{equation*}
F_{X_n}(x)=\frac{e^{nx}+xe^n}{e^{nx}+ \left(\frac{n+1}{n}\right) e^n}
=\frac{e^{(x-1)n}+x}{e^{(x-1)n}+ \left(\frac{n+1}{n}\right)}\to
{x}\mbox{ khi }n\to\infty.
\end{equation*}\]</span></p>
<p><strong>Bài 9</strong>. Cho <span class="math inline">\(\{X_n,\,
n\geq 1\}\)</span> là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân
phối, <span class="math inline">\(E(X)=\mu\)</span> và <span class="math inline">\(V(X)=\sigma^2\)</span>. Với <span class="math inline">\(x \in \Bbb{R}\)</span> tính giới hạn: <span class="math display">\[ \lim\limits_{n \to \infty}
P(X_1+X_2+...+X_n<x).\]</span></p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>.</p>
<p><strong>Bài 10</strong>. Tuổi thọ của một bóng đèn là biến ngẫu nhiên
<span class="math inline">\(X\)</span> có <span class="math inline">\(E(X)=250\)</span> giờ và <span class="math inline">\(SD(X)=250\)</span> giờ.</p>
<p>a) Một cửa hàng mua 30 bóng đèn để khi hỏng có thể thay thế ngay.
Dùng định lí giới hạn trung tâm để tính: xác suất để cửa hàng duy trì
được ánh sáng liên tục trong ít nhất 8750 giờ (<span class="math inline">\(\approx\)</span> 1 năm).</p>
<p>b) Dùng định lí giới hạn trung tâm để tính: chủ cửa hàng phải mua bao
nhiêu bóng đèn để duy trì ánh sáng liên tục ít nhất 8750 giờ với xác
suất lớn hơn 0,9772.</p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>. Gọi <span class="math inline">\(X_n\)</span> là tuổi thọ bóng đèn thứ <span class="math inline">\(n\)</span>. <span class="math display">\[\begin{equation*}
T_n=X_1+...+X_n\approx N(250n;250^2n)
\end{equation*}\]</span> a) Tính <span class="math inline">\(P(T_{30}\geq 8750)\)</span>. b) Tìm <span class="math inline">\(n\)</span> sao cho <span class="math inline">\(P(T_{n}\geq 8750)>0,9772\)</span>.</p>
<p><strong>Bài 11</strong>. Tuổi thọ của một loại van điện lắp trong một
thiết bị là biến ngẫu nhiên X (nghìn giờ) có phân bố mũ với kì vọng
<span class="math inline">\(E(X)=10\)</span> (nghìn giờ). Tính xấp xỉ
xác suất để khi lắp 36 van điện vào thiết bị có ít nhất 20 van bị thay
thế trước thời gian 5 ngàn giờ. Biết tuổi thọ của các van điện là độc
lập nhau.</p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>.</p>
<p><strong>Bài 12</strong>. Một nhà nghỉ có 1000 người. Nhà ăn phục vụ
ăn trưa trong hai đợt liên tiếp. Mỗi nguời chọn ăn trưa một trong hai
đợt này với xác suất như nhau. Dùng định lý giới hạn trung tâm tính: nhà
ăn cần tối thiểu bao nhiêu chỗ để đảm bảo đủ chỗ cho khách vào ăn trưa
với xác suất lớn hơn hay bằng 0,99?</p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>. Gọi <span class="math inline">\(k\)</span> là số ghế cần chuẩn bị, <span class="math inline">\(X\)</span> là số khách chọn ăn trưa đợt 1 <span class="math inline">\(X\sim B(n=1000;p=0,5)\sim
N(\mu=500;\sigma^2=250)\)</span>. Cần tìm <span class="math inline">\(k\)</span> sao cho <span class="math display">\[\begin{equation*}
P(X\leq k,1000-X\leq k)\geq 0,99
\end{equation*}\]</span> tương đương với <span class="math display">\[\begin{equation*}
P(1000-k\leq X\leq k)\geq 0,99.
\end{equation*}\]</span></p>
<p><strong>Bài 13</strong>. Tuổi thọ (năm) của một thiết bị điện tử là
một biến ngẫu nhiên <span class="math inline">\(X\)</span> có hàm mật độ
xác suất: <span class="math display">\[f(x)=\begin{cases}
0,25e^{-0,25x}&\mbox{ nếu }x\geq 0,\\
0 &\mbox{ nếu }x< 0.\\
\end{cases}\]</span></p>
<p>Bán được một thiết bị nếu không phải bảo hành thì lãi <span class="math inline">\(15.000\)</span> đồng nhưng nếu phải bảo hành thì
lỗ <span class="math inline">\(5.000\)</span> đồng. Với thời gian quy
định bảo hành 6 tháng, cửa hàng A nhập về <span class="math inline">\(10.000\)</span> thiết bị để bán. Tính xác suất với
<span class="math inline">\(10.000\)</span> thiết bị được bán hết cửa
hàng A lãi ít nhất <span class="math inline">\(125\)</span> triệu
đồng.</p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>.</p>
<p><strong>Bài 14</strong>. Thời gian (phút) phục vụ mỗi khách hàng tại
một cửa hàng A là biến ngẫu nhiên <span class="math inline">\(X\)</span>
có phân phối mũ với trung bình là <span class="math inline">\(0,2\)</span> phút. Quan sát ngẫu nhiên <span class="math inline">\(35\)</span> khách hàng vào chờ mua hàng ở cửa hàng
đó. Tính xấp xỉ xác suất để thời gian phục vụ trung bình của 35 khách
hàng đó lớn hơn <span class="math inline">\(0,3\)</span> phút.</p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>.</p>
<p><strong>Bài 15</strong>. Một hộp đựng <span class="math inline">\(50\)</span> viên pin loại A và <span class="math inline">\(50\)</span> viên pin loại B. Pin loại A có tuổi
thọ trung bình <span class="math inline">\(\mu_1=500\)</span> giờ và độ
lệch chuẩn <span class="math inline">\(\sigma_1=15\)</span> giờ, pin
loại B có tuổi thọ trung bình <span class="math inline">\(\mu_2=400\)</span> giờ và độ lệch chuẩn <span class="math inline">\(\sigma_2=6\)</span> giờ. Tính gần đúng xác suất
tổng tuổi thọ của 100 viên pin trên lớn hơn <span class="math inline">\(45.200\)</span> giờ.</p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>.</p>
<p><strong>Bài 16</strong>. Trọng lượng các viên thuốc chữa bệnh B được
sản xuất tại một xí nghiệp là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với
trọng lượng trung bình là <span class="math inline">\(25\)</span>mg và
độ lệch chuẩn là <span class="math inline">\(9\)</span>mg. Thuốc đóng
thành vỉ, mỗi vỉ <span class="math inline">\(10\)</span> viên. Một vỉ
được gọi là đúng tiêu chuẩn nếu trọng lượng của nó nằm trong khoảng từ
<span class="math inline">\(2470\)</span>mg đến <span class="math inline">\(2530\)</span>mg. Chọn ngẫu nhiên <span class="math inline">\(100\)</span> vỉ thuốc loại đó để kiểm tra. Tính
xấp xỉ xác suất để trong đó có ít nhất <span class="math inline">\(80\)</span> vỉ đạt tiêu chuẩn.</p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>.</p>
<p><strong>Bài 17</strong>. Tuổi thọ của một loại bóng đèn là biến ngẫu
nhiên có phân phối mũ với trung bình là <span class="math inline">\(1500\)</span> (giờ). Bóng đèn loại đó được gọi là
xếp loại A nếu tuổi thọ của nó lớn hơn <span class="math inline">\(1600\)</span> (giờ). Các bóng đèn được xếp vào
hộp, mỗi hộp <span class="math inline">\(3\)</span> bóng. Mỗi hộp được
gọi là đạt tiêu chuẩn nếu có ít nhất <span class="math inline">\(2\)</span> bóng loại A. Lấy ngẫu nhiên <span class="math inline">\(40\)</span> hộp đèn loại đó để kiểm tra. Tính xấp
xỉ xác suất có nhiều nhất <span class="math inline">\(10\)</span> hộp
đèn đạt tiêu chuẩn.</p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>. Gọi X là tuổi thọ bóng đèn. <span class="math inline">\(X\sim Exp(\lambda=1/1500)\)</span>.</p>
<p>Gọi <span class="math inline">\(Y\)</span> là số bóng đạt tiêu chuẩn
trong 1 hộp <span class="math inline">\(Y\sim B(3;q)\)</span> với <span class="math inline">\(q=P(X>1600)\)</span> Xác suất 1 hộp đạt tiêu
chuẩn là <span class="math inline">\(p=P(Y\leq 2)\)</span>.\ Gọi <span class="math inline">\(Z\)</span> là số hộp đạt tiêu chuẩn trong 40 hộp
lấy ra. <span class="math inline">\(Z\sim B(40;p)\)</span></p>
<p><strong>Bài 18</strong>. Tuổi thọ (năm) của một loại thiết bị là biến
ngẫu nhiên có phân bố mũ với hàm phân phối xác suất <span class="math display">\[\begin{equation*}
F(x)=\begin{cases}
1-e^{-0,125x}&\mbox{ nếu }x\geq 0,\\
0&\mbox{ nếu }x<0.
\end{cases}
\end{equation*}\]</span> Phải chọn ngẫu nhiên bao nhiêu thiết bị để có
ít nhất 100 thiết bị có tuổi thọ lớn hơn <span class="math inline">\(7\)</span> (năm) với xác suất lớn hơn <span class="math inline">\(0,95\)</span>?</p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>. Gọi <span class="math inline">\(n\)</span> là số thiết bị cần chọn, <span class="math inline">\(Y\)</span> là số thiết bị có tuổi thọ >7 năm.
<span class="math inline">\(Y\sim B(n;p)\approx
N(\mu=np;\sigma^2=np(1-p))\)</span> với <span class="math inline">\(p=P(X>7)\)</span></p>
<p><strong>Bài 19</strong>. Một công ty bảo hiểm bán phí bảo hiểm xe máy
<span class="math inline">\(125.000\)</span> đồng/1 năm và trung bình
nhận lại <span class="math inline">\(5\)</span> triệu đồng nếu xe máy bị
tai nạn giao thông. Qua thống kê cho biết tỉ lệ xe máy bị tai nạn giao
thông trong <span class="math inline">\(1\)</span> năm là <span class="math inline">\(0,015\)</span>. Các chi phí khác chiếm 20% phí bảo
hiểm. Trong một năm công ty phải bán được tối thiểu bảo nhiêu bảo hiểm
để xác suất lỗ thấp hơn <span class="math inline">\(0,001\)</span>.</p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>.</p>
<p><strong>Bài 20</strong>. Số khách hàng vào mua hàng ở <span class="math inline">\(1\)</span> cửa hàng trong <span class="math inline">\(1\)</span> ngày là biến ngẫu nhiên <span class="math inline">\(X\)</span> có phân bố Poisson với số khách trung
bình <span class="math inline">\(E(X)=50\)</span>. Giả sử hàm doanh thu
<span class="math inline">\(Y\)</span> (triệu đồng) được xác định bởi
<span class="math inline">\(Y=3X\)</span>. Chọn ngẫu nhiên bao nhiêu
ngày để doanh thu trung bình những ngày này lớn hơn <span class="math inline">\(145\)</span> triệu đồng có xác suất lớn hơn <span class="math inline">\(0,95\)</span>. Biết doanh thu mỗi ngày độc lập với
nhau.</p>
<p><strong>Hướng dẫn</strong>.</p>
</div>
<script>
// add bootstrap table styles to pandoc tables
function bootstrapStylePandocTables() {
$('tr.odd').parent('tbody').parent('table').addClass('table table-condensed');
}
$(document).ready(function () {
bootstrapStylePandocTables();
});
</script>
<!-- tabsets -->
<script>
$(document).ready(function () {
window.buildTabsets("TOC");
});
$(document).ready(function () {
$('.tabset-dropdown > .nav-tabs > li').click(function () {
$(this).parent().toggleClass('nav-tabs-open');
});
});
</script>
<!-- code folding -->
<!-- dynamically load mathjax for compatibility with self-contained -->
<script>
(function () {
var script = document.createElement("script");
script.type = "text/javascript";
script.src = "https://mathjax.rstudio.com/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML";
document.getElementsByTagName("head")[0].appendChild(script);
})();
</script>
</body>
</html>
lvdunghthttp://www.blogger.com/profile/14748339024963974909noreply@blogger.com0